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La puta lata

Iniciado por Lacan, 10 de Diciembre de 2008, 03:48:19 AM

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Lacan

El año pasado tuvimos que resolver un sencillo ejercicio de optimización. Se trataba de hallar el radio de una lata de refresco tal que el volumen de la lata fuera de 33cl pero que la cantidad de aluminio para fabricarla (o sea, la superficie de la lata) fuera el mínimo posible.

Mi pregunta es:

¿Se puede resolver el ejercicio si supones un grosor de la lata fijo? Quiero decir, matemáticamente, es posible aplastar la lata tanto como quieras, haciendo sus paredes infinitamente delgadas y que la lata cubra la Tierra entera si quieres. ¿Pero qué pasa si no pudieras estirar la superficie de la lata? Imaginad un grosor fijo (como debería ser en realidad si habláramos de la fabricación de una lata real), una cantidad fija de alumunio y un volumen constante de 33 cl. ¿La superficie de todas las latas posibles cambiaría?
Oh, las vampiresas!

Pr0ZaK



Las alargadas tiene menos coste de fabricación, pero eso eso porque la base y la superfície son las partes más caras. Si tienen la misma superfície... No lo sé.

Menos es nada  8)



PES Hero

Bueno, a causa de los pequeños problemas que hemos tenido con el servidor, el mensaje que escribí en este hilo se ha borrado, así que lo escribo de nuevo. :-| Y de nuevo te digo que no termino de entender lo que propones, pero es muy fácil calcular el radio de manera que la cantidad de aluminio utilizada sea la mínima posible, al mismo tiempo que la lata siga teniendo un volumen de 33 centilitros. Suponemos una lata cilíndrica de radio r y altura h, y de ahí despejamos la altura para dejarla en función del radio...

πr2·h=1/3
h=1/(3Ï€r2)

Ahora calculamos la superficie de aluminio empleada para fabricar la lata, que es igual a la suma de las superficies de las bases más la superficie del lateral, y sustituimos la altura anteriormente despejada para dejar toda la expresión en función del radio.

Superficie=2πr2+2πr·h
Superficie=2Ï€r2+(2Ï€r)/(3Ï€r2)=2Ï€r2+2/(3r)

Derivamos toda la expresión y la igualamos a cero, y de ahí despejamos el valor del radio de la lata.

[2Ï€r2+2/(3r)]'=0
4Ï€r+(-2)/(3r2)=0
4Ï€r=2/(3r2)
12Ï€r3=2
r3=2/(12Ï€)
r=3√(2/(12π))=0,375751 metros

Una vez calculado el radio, podemos usar ese valor para calcular la altura de la lata, y si sustituimos ambos valores en la igualdad de partida, vemos que ésta se cumple, ya que obtenemos un volumen igual a los 33 centilitros deseados.

h=1/(3πr2)=1/(3π·0,3757512)=0.751499 metros
πr2·h=π·0,3757512·0.751499=0.333333 litros=33 centilitros

Espero no haberme equivocado otra vez despejando, sería para matarme. :uix: De todas formas me intriga saber qué es lo que propones (es posible que ya me hayas contestado y el mensaje se haya borrado), porque la verdad es que por más que leo tu mensaje no logro entenderlo del todo. El grosor de la lata es independiente de la superficie de ésta, al menos a un nivel básico de geometría, y no entiendo qué quieres decir con "una cantidad fija de aluminio". En fin...
[refle width=420 height=220]http://i8.photobucket.com/albums/a11/PES_Hero/dpfkb0rkgsd.png[/refle]

Cita de: loversandbrotherseSTAS PARA QUE TE ENCIERREN, PERO NO POR ENFERMEDAD METAL SINO POR CUTREZ MALDITO HIJO DE PUTA. DEJA YA ESTA MIERDA DE POSTS Y ESCRIBE ALGO GRAXIOSO DE VERDAD, SOSOMAN SOSOMAN

[refle width=65 height=15]http://i8.photobucket.com/albums/a11/PES_Hero/_noevil__by_zacthetoad.gif[/refle]

"An admin. never ignore"

Lacan

Sí te contesté. Lo que te dije es que esa función presupone que la deformación posible de la lata es totalmente libre. Puedes estirarla cuanto quieras, el grosor de la lata varía sin restricciones y que puedes aplastarla tanto como quieras, de manera que aumentarías su superficie hasta que cubriera la Tierra entera, si quisieras.

¿Pero qué pasa si impones que el grosor de las paredes de la lata sea fijo (que es lo que ocurre en la fabricación de latas reales)? ¿También se podrían crear latas con distintas superficies para el mismo volumen?
Oh, las vampiresas!

Ladril

Cita de: Safer en 11 de Diciembre de 2008, 22:39:34 PM
¿Pero qué pasa si impones que el grosor de las paredes de la lata sea fijo (que es lo que ocurre en la fabricación de latas reales)? ¿También se podrían crear latas con distintas superficies para el mismo volumen?

Yo creo que sí. Claro que sí.

PES Hero

Es decir, quieres que tanto el volumen como el grosor de la lata sean constantes, y de ahí calcular las dimensiones de la lata de modo que para su construcción se utilice la menor cantidad de aluminio posible, ya no en términos de superficie, sino de masa. El problema es que yo no veo esa inherencia entre las dimensiones de la lata y su grosor, no estamos hablando de tener una lata de un determinado volumen y deformarla hasta que su superficie sea mínima sin variar ese volumen, estirando la superficie como si de plastilina se tratase. Simplemente se trata de una optimización de la superficie, donde no entra en juego (ni puede entrar en juego) el grosor que conforma esa superficie. Está claro que si quieres utilizar el menor aluminio posible, además de optimizar la superficie has de utilizar un grosor muy bajo, pero yo creo que es algo totalmente independiente. Vamos, es posible que me equivoque, pero no veo el dilema por ningún sitio...
[refle width=420 height=220]http://i8.photobucket.com/albums/a11/PES_Hero/dpfkb0rkgsd.png[/refle]

Cita de: loversandbrotherseSTAS PARA QUE TE ENCIERREN, PERO NO POR ENFERMEDAD METAL SINO POR CUTREZ MALDITO HIJO DE PUTA. DEJA YA ESTA MIERDA DE POSTS Y ESCRIBE ALGO GRAXIOSO DE VERDAD, SOSOMAN SOSOMAN

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Lacan

Cita de: PES Hero en 11 de Diciembre de 2008, 23:02:13 PM
Es decir, quieres que tanto el volumen como el grosor de la lata sean constantes, y de ahí calcular las dimensiones de la lata de modo que para su construcción se utilice la menor cantidad de aluminio posible, ya no en términos de superficie, sino de masa. El problema es que yo no veo esa inherencia entre las dimensiones de la lata y su grosor, no estamos hablando de tener una lata de un determinado volumen y deformarla hasta que su superficie sea mínima sin variar ese volumen, estirando la superficie como si de plastilina se tratase. Simplemente se trata de una optimización de la superficie, donde no entra en juego (ni puede entrar en juego) el grosor que conforma esa superficie. Está claro que si quieres utilizar el menor aluminio posible, además de optimizar la superficie has de utilizar un grosor muy bajo, pero yo creo que es algo totalmente independiente. Vamos, es posible que me equivoque, pero no veo el dilema por ningún sitio...

Divide la lata en pequeños cubos (como si fueran píxeles). ¿Puedo construir una lata del mismo volumen con menos cubitos? Yo es que pienso que si le quitas cubos, no puedes construir otro objeto con el mismo volumen, pero me puedo equivocar, por eso pregunto.
Oh, las vampiresas!

cloud633

Si no te he entendido mal, cada cubito representa un diferencial de volumen. Si quitas diferenciales de volumen, te va a dar un volumen total menor obligatoriamente...

Cita de: Cardemm en 09 de Septiembre de 2009, 00:30:24 AM
Bueno, ibamos a ver una película y una de las opciones era venir a mi casa, no se qué le véis de escandalizador, lo que pasa es que dije que no porque mi cuarto se convierte en una sauna en cuanto hay dos personas.

PES Hero

¿Pero de qué volumen estamos hablando? ¿Del volumen de aluminio (dependiente de la masa y la densidad de éste) o del volumen interno de la lata? El volumen interno de la lata no tiene nada que ver con el grosor del aluminio, es totalmente independiente, sólo depende de las dimensiones de la lata, tratando los bordes de ésta como si se tratasen de una superficie totalmente bidimensional, sin ningún tipo de grosor. Pero si hablamos del volumen de aluminio, está claro que disminuye conforme lo hace el grosor, porque ese grosor es el que conforma este volumen, que es una mera extrusión de la superficie que encierra el volumen interno de la lata.
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Cita de: loversandbrotherseSTAS PARA QUE TE ENCIERREN, PERO NO POR ENFERMEDAD METAL SINO POR CUTREZ MALDITO HIJO DE PUTA. DEJA YA ESTA MIERDA DE POSTS Y ESCRIBE ALGO GRAXIOSO DE VERDAD, SOSOMAN SOSOMAN

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Lacan

#9
Cita de: PES Hero en 11 de Diciembre de 2008, 23:44:58 PM
¿Pero de qué volumen estamos hablando? ¿Del volumen de aluminio (dependiente de la masa y la densidad de éste) o del volumen interno de la lata? El volumen interno de la lata no tiene nada que ver con el grosor del aluminio, es totalmente independiente, sólo depende de las dimensiones de la lata, tratando los bordes de ésta como si se tratasen de una superficie totalmente bidimensional, sin ningún tipo de grosor. Pero si hablamos del volumen de aluminio, está claro que disminuye conforme lo hace el grosor, porque ese grosor es el que conforma este volumen, que es una mera extrusión de la superficie que encierra el volumen interno de la lata.

Me refiero al volumen interior. Y no, no es independiente. Además, vuelves a incurrir en el mismo error, que es considerar las paredes internas como objetos bidimensionales.

Oh, las vampiresas!

Lacan

Cita de: cloud633 en 11 de Diciembre de 2008, 23:24:25 PM
Si no te he entendido mal, cada cubito representa un diferencial de volumen. Si quitas diferenciales de volumen, te va a dar un volumen total menor obligatoriamente...

No me has entendido bien, porque eso serían los cubitos que cabrían dentro de la lata. Yo hablo de los cubitos que formarían las paredes de la lata.
Oh, las vampiresas!

PES Hero

Demuestra esa relación matemáticamente.
[refle width=420 height=220]http://i8.photobucket.com/albums/a11/PES_Hero/dpfkb0rkgsd.png[/refle]

Cita de: loversandbrotherseSTAS PARA QUE TE ENCIERREN, PERO NO POR ENFERMEDAD METAL SINO POR CUTREZ MALDITO HIJO DE PUTA. DEJA YA ESTA MIERDA DE POSTS Y ESCRIBE ALGO GRAXIOSO DE VERDAD, SOSOMAN SOSOMAN

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Lacan

Cita de: PES Hero en 12 de Diciembre de 2008, 00:02:00 AM
Demuestra esa relación matemáticamente.

Se podría hacer por diferencias finitas. Deja que repase el tema (tengo que hacerlo) y te modelizo una lata cuadriculada.
Oh, las vampiresas!

cloud633

Safer, depende. Si suponemos que las paredes de la lata son infinitamente delgadas, que tienen un grosor que tiende a cero... pues si quitamos algo de material, tenemos que reducir obligatoriamente el volumen. Si las paredes tienen, no se, 2 mm de grosor, pues podríamos reducir el grosor, eliminando material (y peso, ovbio) y manteniendo el volumen y la forma.

Cita de: Cardemm en 09 de Septiembre de 2009, 00:30:24 AM
Bueno, ibamos a ver una película y una de las opciones era venir a mi casa, no se qué le véis de escandalizador, lo que pasa es que dije que no porque mi cuarto se convierte en una sauna en cuanto hay dos personas.

Lacan

Cita de: cloud633 en 12 de Diciembre de 2008, 00:07:28 AM
Safer, depende. Si suponemos que las paredes de la lata son infinitamente delgadas, que tienen un grosor que tiende a cero... pues si quitamos algo de material, tenemos que reducir obligatoriamente el volumen. Si las paredes tienen, no se, 2 mm de grosor, pues podríamos reducir el grosor, eliminando material (y peso, ovbio) y manteniendo el volumen y la forma.

Claro, pero es que yo estoy pidiendo como restricción que el grosor de las paredes sea FIJO. Para evitar el efecto "estiramiento" que permiten las ecuaciones del volumen y la superficie del cilindro, que sospecho que va implícito.
Oh, las vampiresas!