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Ecuaciones diferenciales

Iniciado por Lacan, 27 de Marzo de 2010, 15:34:26 PM

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Lacan

Hola, Shurmanos.

Necesito repasar ED de todo tipo y me he quedado atrancado en una, que seguramente sea una gilipollez, pero es que me falta oficio.

La ED en cuestión es esta:
xy''+2y'=x^3

Haciendo un cambio de variable en y' = P, acabo sacando que P = 1/5*x^3

Pero el Wolfram Alpha me dice que P = 1/5*x^3+c1/x^2. ¿De dónde sale ese segundo término? :roto2:
Oh, las vampiresas!

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Pfff, no me acuerdo de nada de ecuaciones diferenciales, sólo de que había varios métodos. Quizás el cambio de variable que estás haciendo no es el adecuado para ese tipo de  ecuación.

Ichigo ja

Estos apuntes están bastante bien, aunque supongo que ya lo hayas encontrado googleando:

http://www.ehu.es/izaballa/Ecu_Dif/Transparencias/presen11-1x2.pdf

Haces el cambio de variable, y te queda algo tal que así:

p'+ 2/x p = x^2(después de simplificar y tal)

Ahora resuelves bien por factor integrante(coñazo), o solución homogénea + particular.

La homogénea queda p= c1 x^-2, que es el término que no pillas. Supongo que el otro salga de hacer la particular.


Para obtener la solución final, sí que tienes que integrar p, que es lo que habías editado.
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Lacan

Yo lo estoy resolviendo por factor integrante. El factor es x^2, de manera que la ecuación queda:

x^2*P'+2*x*P = x^4

El término de la izquierda resulta ser la derivada de x^2*P respecto de x, de manera que:
d(x^2*P)/d(x) = x^4 --> d(x^2*P) = x^4*d(x)

Ahora, mi duda:

¿Lo de la izquierda lo puedo representar como x^2*d(P)?

Si la respuesta es sí, entonces integro y queda P*x^2 = 1/5*x^5.

Supongo que este es el paso que hago mal.
Oh, las vampiresas!

Ichigo ja

No hace falta que separes variables, simplemente integras en x en ambos lados de la ecuación.

Lo que haces está bien, vaya. Te queda x^2 p = int(x^4 dx). Eso sí, te falta añadir una constante de integración a tu solución. Por lo tanto, tienes que x^2 p = x^5/5 + C1. Ahora divides por x^2, y ya tienes la solución que te dan.

Es frecuente liarla con la constante xD
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Lacan

¡ME CAGO EN LA PUTA, QUÉ GILIPOLLEZ!!!!!UNOUNOUNO :roto2:

Gracias, Ichigo. ¿Vas a estar por aquí? Si el lunes me resultas ser de verdadera utilidad (me reservo el derecho a juzgar si lo eres o no) prometo darte 200 euros y ser honrado. :)
Oh, las vampiresas!

Lacan

Por cierto, ¿el término de la izquierda no lleva constante o qué?
Oh, las vampiresas!

Lacan

#7
Creo que me he pasado con la oferta. X-D

100 euros a repartir entre todos los que me ayuden. xD
Oh, las vampiresas!

Ichigo ja

#8
Pues en principio estoy "haciendo un trabajo", y hasta las 6 o así no me iré. Pero vamos, sabes que vivo en el foro, y si no seguramente Ladril o alguno más también pueda echarte una mano, Postea e intentaré ayudar en lo que pueda, que no me cuesta na.

El termino de la izquierda llevaría constante, pero no se suele poner porque se incluye en c1. Es decir, por un lado tendrías una constante y por otro otra, y podrías agruparlas en una sola. Como me estoy explicando como el culo:

p + c1 = x + c2 => p = x + c3.

Como la constante es arbitraria, podemos hacer esto sin problema.


Y qué dices de 100 euros, loco X-D
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Lacan

Ok, segunda gilipollez que paso por alto.

Explícame eso de que no hace falta separar variables. Me resulta un coñazo tener que identificar que el polinomio ese resultaba ser la derivada de x^2*P. ¿Puedo evitar este paso?
Oh, las vampiresas!

lol

Malditos vagos, usad LaTeX, que para algo lo tiene disponible el foro :agh: .


Atentamente: lol

Ichigo ja

No, pero cuando hagas 5 o 6, te das cuenta de que siempre es el factor integrante por p, o algo asi X-D. Vamos, que lo haces del tirón. Aunque yo te recomiendo revisar ese paso aunque sea un coñazo, pues te indica si la has cagado previamente o no, y te ahorra bastante trabajo en caso de liarla.

A lo que me refiero con que no hace falta separar variables, es porque yo uso otra notación.

Llamo p' a la derivada, y p a lo normal. Así que agrupo de la siguiente manera:

(p* x^2)' = x^4.

Como se que la ed es en x, pues integro directamente y fuera. Vamos, que hago lo mismo que tú, sólo que menos formal y para abreviar.


Ni ganas, lol. Latex y yo nunca nos llevamos bien xD
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Lacan

#12
Pero es que en la izquierda integras en p, mientras que en la derecha integras en x, shurmano.

Ah, coño, ya veo lo que sucede. Qué chapuza lo que hacéis para abreviar, ¿no?
Oh, las vampiresas!

Ichigo ja

Cita de: Safer en 27 de Marzo de 2010, 16:43:35 PM
Pero es que en la izquierda integras en p, mientras que en la derecha integras en x, shurmano.

Ya, pero con mi notación eso no se aprecia, se da por hecho, y es más cómodo que ir arrastrando dp y dx por toda la ecuación X-D

Pero vamos, que es cuestión de gustos y sobre todo, de si se te exige formalismo o no.
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Lacan

¿Cómo se resolvería por el otro procedimiento que dices (particular+general)? ¿Dices que es más fácil?
Oh, las vampiresas!